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By Stefan Hildebrandt

Das vorliegende Lehrbuch ist als Leitfaden f?r eine zwei- oder dreisemestrige Analysis-Vorlesung gedacht und richtete sich an Studierende der Mathematik und Physik sowie an mathematisch interessierte Studierende der Informatik und der exakten Wissenschaften. Ausf?hrliche Beweise und Erl?uterungen sowie zahlreiche Beispiele und interessante ?bungsaufgaben eignen es sehr intestine f?r das mathematische Selbststudium. Ein klarer und ?bersichtlicher Aufbau und eine geschickte Gliederung des Stoffes erm?glichen, das erste Studium auf Kernbereiche zu beschr?nken. Dem Dozenten werden vielf?ltige M?glichkeiten geboten, je nach artwork der Vorlesung verschiedene Schwerpunkte zu setzen und geeignete Wege zur Darstellung des Stoffes zu w?hlen. Geometrische instinct und historische Motivation in Verbindung mit einer ma?vollen Abstraktion kennzeichnen diese moderne Einf?hrung in die Analysis.

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Mit k := max { −1 f¨ ur n > N , |y1 |−1 , . . , |yN |−1 } folgt |yn |−1 ≤ k f¨ ur alle n ∈ N , womit (iv) bewiesen ist. Weiterhin erhalten wir (v) aus ||xn | − |x|| ≤ |xn − x| → 0 . Um (vi) zu beweisen, betrachten wir die Nullfolge {ηn } mit den Gliedern ηn := (yn − y0 ) + (x0 − xn ) . Zu beliebig vorgegebenem > 0 gibt es also ein N ∈ N, so daß |ηn | < n > N ist. Wegen xn ≤ yn gilt 0 ≤ yn − xn und daher x0 − y0 ≤ (x0 − y0 ) + (yn − xn ) = ηn ≤ |ηn | < Hieraus folgt x0 − y0 < f¨ ur jedes Eine n¨ utzliche Variante von (vi) ist f¨ ur n > N .

Ankt, wenn es ein k > 0 Definition 3. Eine Zahlenfolge {an } heißt beschr¨ ur alle n ∈ N ist. gibt, so daß |an | ≤ k f¨ Satz 4. (i) an → 0 ⇔ |an | → 0. (ii) Es gebe k > 0, so daß |an | ≤ k|bn | f¨ ur alle n ≥ n0 gilt. Aus bn → 0 folgt ankt ist. dann an → 0. Insbesondere gilt bn cn → 0, wenn bn → 0 und {cn } beschr¨ (iii) Aus an → 0 und bn → 0 folgt an + bn → 0. (iv) Jede Nullfolge ist beschr¨ ankt. Beweis. (i) folgt sofort aus Definition 2. (ii) Wegen bn → 0 gibt es f¨ ur jedes n > N ist. Hieraus folgt > 0 ein N ∈ N, so daß |bn | < /k f¨ ur alle |an | ≤ k|bn | < k · also an → 0.

Wir wollen diesen Begriff zun¨achst f¨ ur Folgen reeller Zahlen untersuchen. Definition 1. h. Zahl x0 ∈ R gibt, f¨ |xn − x0 | → 0 (1) gilt. Man nennt dann x0 den Grenzwert oder Limes der Folge {xn } und schreibt (2) xn → x0 f¨ ur n → ∞ (oder auch : xn → x0 ) oder (3) lim xn = x0 . n→∞ Eine nicht konvergente Zahlenfolge heißt divergent. Es ist sinnvoll, von dem Grenzwert und nicht von einem Grenzwert einer konvergenten Folge {xn } zu sprechen, denn es gilt 44 Kapitel 1. Grundlagen der Analysis Proposition 1.

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